Lanciare una moneta può essere pericoloso – Parte I

di Riccardo Stucchi

Ogni investimento è una scommessa. Che si tratti di acquistare BTP italiani, un ETF azionario globale o criptovalute, il risultato di queste scelte può portare a raggiungere i propri obiettivi o a mancarli, che detto in modo semplice vuol dire perdere dei soldi.

Saper riconoscere quali scommesse effettuare e quali è meglio evitare è fondamentale per un buon investitore. Non sempre però quelle che sembrano buone scommesse si dimostrano essere tali. Eccovene un esempio.

Scommettete 100 euro su una moneta. Se esce testa vincete il 50% di quanto scommesso (ricevete 150 euro, per una vincita di 50 euro); se esce croce perdete il 40% di quanto scommesso (ricevete 60 euro, per una perdita di 40 euro). Ripetete il gioco scommettendo ogni volta quanto ricevuto dalla giocata precedente. Giochereste a questo gioco?⁽¹⁾

I più pratici con la matematica avranno calcolato un rendimento atteso del 5% che porterebbe ad avere un capitale di 1 milione di euro dopo 200 giocate⁽²⁾ e che renderebbe molto allettante il gioco:

(150 euro + 60 euro) / 2 = 105 euro (5% di guadagno medio)

Proviamo a mettere alla prova questa previsione. Abbiamo simulato 200 giocate e registrato ogni volta il capitale a disposizione del giocatore (linea blu in Figura 1, in scala logaritmica).

Figura 1

Il risultato è abbastanza deludente, il giocatore perde praticamente tutto, arrivando ad avere circa 0.01 euro (-2 in scala logaritmica), ben lontano dal milione di euro preventivato (linea verde)! Abbiamo ripetuto più e più volte la simulazione e la maggior parte degli esiti va ad allinearsi alla linea rossa, cioè un rendimento negativo del 5%.

Bisogna vederci chiaro. Abbiamo un gioco con un rendimento atteso positivo del 5% che fornisce nella maggior parte dei casi un rendimento negativo del 5%. Da che parte sta la verità?

Mi spiace deludere chi si trova a suo agio con le dicotomie, ma entrambi i risultati sono corretti: dipende dai punti di vista.

Il calcolo del rendimento atteso positivo del 5% è corretto dal punto di vista della popolazione. Se si considera un campione molto esteso di persone che gioca al lancio della monetina, la media di tutti i rendimenti sarà effettivamente del +5%. La distribuzione dei rendimenti, però, è molto sbilanciata, con pochi giocatori che diventano enormemente ricchi e molti che perdono quasi tutto.

Il singolo giocatore, invece, della media di tutti i rendimenti se ne fa ben poco: non ha la possibilità di vivere diverse vite parallele e poi mediarle. A lui interessa il rendimento più probabile (o mediano), che per questo gioco è negativo, e può essere calcolato con la media geometrica dei possibili risultati:

√(150 euro * 60 euro) = 95 euro (5% di perdita media)

Che insegnamenti può trarre un investitore da questo gioco?

• Il rendimento medio può essere diverso dal rendimento mediano e il singolo investitore deve preoccuparsi del secondo.
• Il rendimento mediano è tanto più basso di quello medio quanto più sono diversi i risultati in caso di vittoria o perdita (nel gioco: +50%/-40%). In altre parole: la volatilità distrugge il rendimento nel tempo.

In un prossimo articolo vi mostreremo come, con una semplice strategia, sia possibile trasformare questo gioco di monete in vincente. Avete qualche idea?

(il post originale lo trovate qui)

Note:
⁽¹⁾ Consigliamo la visione di questo video di Ole Peters che spiega in modo abbastanza divulgativo i dettagli del gioco.
⁽²⁾ dopo il coronavirus credo che tutti saremo più pratici con i fenomeni esponenziali. Con un numero di infetti iniziale di 100 e un tasso di riproduzione R0 di 1.05 si arriva a 1 milione di infetti dopo 200 periodi di incubazione.