Dimostrazione geometrica dell’irrazionalità di √2
Una delle “dimostrazioni famose” in matematica è sicuramente quella dell’irrazionalità della radice quadrata di 2, che ha distrutto la teoria pitagorica e forse anche Ippaso di Metaponto e ha dato una svolta a 90 gradi alla matematica greca, che ha deciso di non usare più il concetto di numero come punto di partenza ma basarsi sulla geometria.
La dimostrazione che si legge di solito parte immaginando per assurdo che √2 sia uguale a una frazione a/b, con a e b interi positivi. Senza perdita di generalità possiamo anche supporre che a e b non abbiano fattori comuni, perché in caso contrario possiamo semplificare entrambi i valori. A questo punto, elevando al quadrato i due membri dell’uguaglianza, abbiamo che a²/b²=2, cioè a²=2b², da cui si vede che a² è pari. Poiché il quadrato di un numero pari è pari e il quadrato di un numero dispari è dispari, otteniamo che a è anch’esso pari, e quindi possiamo scrivere a=2c. Sostituendo questo valore e semplificando, abbiamo 2c²=b², e per lo stesso ragionamento di prima vediamo che b deve essere pari, assurdo perché non può avere fattori in comune con a.
