Risposte ai problemini per Ferragosto 2020

Per chi era in ambasce, ecco le risposte ai problemini della scorsa settimana!

1. Triangolate il triangolo
Potete vedere la soluzione nella figura qui sotto.

2. Triangoli separati
Poiché c’è solo un numero finito di segmenti possibile che uniscono due dei punti assegnati, è possibile trovare una retta che non sia parallela a nessuno di questi segmenti. Consideriamo ora il fascio di rette parallele a questa retta, prendiamone una che lasci tutti i punti da una parte, e cominciamo a spostarla – sempre rimanendo nel fascio – verso i punti. Per costruzione verrà sempre toccato un punto per volta; a ogni multiplo di tre punti toccati, prendiamo gli ultimi tre e costruiamo il relativo triangolo.

3. Più o meno
Sì, è possibile. A meno di rotazioni, le uniche due possibilità per un singolo triangolo sono quella con tutti + (che però porta necessariamente a un reticolo con soli +, visto che ci saranno sempre almeno due + per i triangoli adiacenti) e quella indicata in alto nella figura qui sotto. A questo punto una riga del reticolo si completa forzatamente come indicato in basso, e le righe successive si costruiscono per simmetria.

4. Reticolato
No, non è possibile. Se lo fosse, infatti, deve esserci per forza almeno una riga con tre lettere consecutive, come nella figura in alto: altrimenti quella riga avrebbe solo due lettere. Senza perdita di generalità, possiamo chiamare le lettere a, b, c. Sotto la b deve per forza esserci una d, e quindi ai lati della d ci devono rispettivamente essere c e a (figura di mezzo). Ma allora la riga ancora sotto deve di nuovo avere a, b, c e così via: quindi le colonne hanno solo due lettere e non quattro.

5. Sviluppare il cubo
L’unica soluzione possibile è mostrata qui sotto. Piegare per credere!