Problemini per Ferragosto 2020

Anche stavolta la fonte dei problemini è il libro di Hugo Steinhaus One Hundred Problems in Elementary Mathematics, il che significa che vi faranno sudare come e più del caldo… Stavolta ci diamo alla geometria.

1. Triangolate il triangolo
Dividete un triangolo in diciannove parti sempre triangolari, in modo che da ciascuno dei vertici della nuova figura, compresi i vertici del triangolo originario, parta lo stesso numero di lati. Se vi avessi chiesto di dividerlo in tre parti, avreste potuto disegnare la figura qui sotto.

2. Triangoli separati
Sul piano sono disposti 3n punti, e non c’è nessun terzetto allineato. Dimostrate che è possibile costruire n triangoli in modo che nessuno di essi si intersechi. Nella figura qui sotto c’ero quasi riuscito, ma c’è un incrocio…

3. Più o meno
Consideriamo un reticolo infinito di triangoli equilateri nel piano. È possibile assegnare a ogni vertice un segno + oppure − in modo che in ogni triangolo il numero di segni + sia dispari e ci sia almeno un vertice con segno − nel reticolo? (altrimenti basterebbe mettere tutti segni +)

4. Reticolato
Passiamo dai triangoli ai quadrati. Consideriamo un reticolo infinito di quadrati nel piano. È possibile assegnare a ciascun vertice una delle lettere a, b, c, d in modo che (a) ciascun quadrato abbia tutte e quattro le lettere e (b) in ciascuna riga e colonna infinita compaiano tutte e quattro le lettere?

5. Sviluppare il cubo
Di solito, quando si vuole mostrare lo sviluppo di un cubo, lo si disegna come nella figura qui sotto. Riuscite a fare uno sviluppo in cui non ci sia una riga con tre quadrati allineati?