Problemini per Pasqua 2020

Vorrete mica che un banale coronavirus blocchi la tradizione dei problemini pasquali? Anzi, tanto a Pasquetta la gita fuori porta non la possiamo fare, quindi tanto vale cimentarsi nella risoluzione. La fonte stavolta è il libro di Hugo Steinhaus One Hundred Problems in Elementary Mathematics.

1. Moltiplicazioni in catena
Partite con i numeri 2 e 3 affiancati, e moltiplichiamoli tra loro: otteniamo 6. Aggiungete 6 alla (ancora breve) lista, lasciate da parte il 2 che è il primo numero a sinistra, e moltiplicate 3 per 6, ottenendo 18. Aggiungete alla lista 1 e 8 e lasciate da parte il 3. I primi due numeri rimasti sono 6 e 1, che moltiplicati fanno 6; lo aggiungete alla lista lasciando da parte l’8. Andando avanti, costruirete una lista infinita che comincia con 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, … Dimostrate che questa lista non conterrà mai le cifre 0, 5, 7, 9.

2. Tocca non ripetersi
Riprendete la lista infinita del problema precedente; dimostrate che non diventerà mai periodica.

3. Non proprio Fermat
Dimostrate che l’equazione xⁿ + yⁿ = zⁿ non ha soluzioni intere positive se n ≥ z.

4. Un numero irrazionale
È vero che in genere non si può risolvere un’equazione per radicali; però qualcosa si può comunque dire. Per esempio, l’equazione x⁵+x=10 ha una sola soluzione positiva che è compresa tra 1,5 e 1,6. Dimostrate che questa soluzione non è un numero intero.

5. Distanziamento
Immaginate di avere un certo numero di punti nel piano, e che tutte distanze tra due di questi punti sono diverse tra loro. Collegate ora ciascun punto a quello più vicino. Il grafo che otterrete non è necessariamente connesso; dimostrate però che non può contenere un poligono chiuso oppure due archi che si incrociano.