La media dell’indeciso
Si fa presto a dire media. Quando diciamo “la media è tot”, in genere pensiamo alla media aritmetica: si sommano tutti i valori, si divide per il numero di soggetti, e tutto è a posto.
Vantaggio: non è poi così difficile fare i conti, ci si può riuscire senza troppa fatica anche senza calcolatrice. Svantaggio: se siete in dieci, volete calcolare quanto guadagnate in media in un anno, e tra voi c’è Bill Gates troverete un risultato che non ha nessun senso pratico.
I matematici però – anche se non sembra… – sono gente pratica, e hanno inventato altri tipi di medie. Una che viene usata abbastanza spesso è la media geometrica, che prende gli n valori, li moltiplica tra di loro, e poi tira fuori la radice ennesima. Si suppone che tutti i valori siano positivi, altrimenti si può finire male!
La media geometrica si chiama così perché nel caso di due elementi di partenza ha una visualizzazione geometrica molto semplice: si costruisce il rettangolo avente come lati le misure corrispondenti ai due elementi e poi si costruisce un quadrato di area uguale (lo sapete fare, vero?). Il lato di quel quadrato è la media geometrica, che si può facilmente dimostrare essere minore o uguale della media aritmetica, con l’uguaglianza solo se i due numeri di partenza sono uguali.
Però a volte la media geometrica risulta troppo bassa, e si vorrebbe qualcosa più o meno a metà. I matematici sono persone molto gentili, e hanno tirato fuori la media aritmo-geometrica, dal nome un po’ intimorente ma nemmeno troppo complicata. Essa è definita solo nel caso di due numeri, e viene calcolata con un procedimento iterativo. Cerchiamo per esempio la media aritmo-geometrica di 1 e 2.
Per prima cosa calcoliamo la loro media aritmetica e quella geometrica, che sono rispettivamente 3/2 e √2. Calcoliamo ora la media aritmetica e geometrica di questi due nuovi valori; otterremo circa 1,457 e 1,456. Come vedete, stiamo avvicinandoci rapidamente a un valore ben specifico, che è per l’appunto la media aritmo-geometrica che nel nostro caso è 1,45679…. Che la convergenza sia rapida lo si può dimostrare con un po’ di matematica avanzata; voi fidatevi.
L’unico guaio è che per come è costruita si può calcolare solo la media aritmo-geometrica di due valori: se ce ne sono di più, dopo il primo passo ne rimangono comunque due. Certo, si può comunque proseguire l’algoritmo, ma potremmo avere il dubbio di esserci persi qualcosa. Ma i matematici, oltre ad essere persone molto gentili, sono anche pieni di risorse.
Ecco così che Evelyn J Lamb si è inventata la media dell’indeciso (“the ditherer’s mean”). Come funziona? semplice. Si calcolano la media aritmetica e quella geometrica dell’insieme dei numeri, e si sostituiscono il maggiore e il minore dei numeri di partenza con quelli calcolati. Da qui si riparte con la stessa operazione. A che serve? Per il momento a nulla, ammette Lamb; però magari qualche indeciso potrà darsi una mossa (e comunque, aggiungo io, l’operazione è ben definita quindi male non fa).
Ah: se siete arrivati fino a qua, magari vi siete chiesti come si costruisce la media geometrica. Semplice: si affiancano i due segmenti di misura corrispondente ai numeri di partenza, si costruisce il (semi)cerchio con diametro il segmento somma, si alza la perpendicolare dal punto di contatto dei due segmenti. Il segmento da quel punto all’intersezione con il cerchio è quello cercato.
Per la dimostrazione che la media geometrica è sempre minore di quella aritmetica (parlando di numeri positivi), almeno per due numeri, basta un po’ d’algebra. Abbiamo infatti che (a−b)² = a²+b²−2ab; ≥ 0; se sommiamo 4ab a entrambi i membri e prendiamo la radice quadrata, otteniamo (a−b) ≥ 2√(ab) e dividendo per due entrambi i membri abbiamo il risultato cercato.
