Risposte ai problemini per Pasqua 2018

Ecco le risposte ai problemini, che erano tratti dalla Olimpiada Matemática Española (anno 1993)

1. L’invasione dei cloni
Se in ogni gruppo di sei persone due hanno la stessa età, per il principio dei cassetti ci possono essere al massimo cinque età differenti. A questo punto ci possono essere al più 50 triplette distinte (nazionalità, età, sesso); poiché 201=50×4+1, a una di queste triplette devono essere associate almeno cinque persone, sempre per il principio dei cassetti.

2. Spazio 1999
Scriviamo gli elementi della prima riga come a₀, a₁, a₂, a₃, …
La seconda riga avrà allora a₀+a₁, a₁+a₂, a₂+a₃, a₃+a₄, …
La terza riga avrà a₀+2a₁+a₂, a₁+2a₂+a₃, a₂+2a₃+a₄, a₃+2a₄+a₅, …
La quarta riga avrà a₁+3a₂+3a₃+a₄, a₂+3a₃+3a₄+a₅, a₃+3a₄+3a₅+a₆, …
Si può dimostrare facilmente per induzione che il primo elemento della riga k+1 sarà
B(k,0)a₀ + B(k,1)a₁ + … + B(k,k)a_k, dove B(m,n) è il coefficiente binomiale e vale m!/m!m−n!. L’unico elemento della riga 2000 del nostro triangolo varrà
B(1999,0)×0 + B(1999,1)×1 + B(1999,2)×2 + … + B(1999,1999)×1999. Ma poiché 1999 è un numero primo, tutti i coefficienti binomiali devono essere suoi multipli e quindi anche la somma di tutti quegli addendi lo è.

3. Uno vale uno
Cominiciamo a considerare i numeri della forma 9, 99, 999, 9999, … che possiamo scrivere come 10¹−1, 10²−1, 10³−1, 10⁴−1, … Questa successione contiene un termine della forma 10^p−1. Ma per il piccolo teorema di Fermat 10^p−1 ≡ 1 (mod p) se p non divide 10 (e quindi è diverso da 2 e 5), quindi abbiamo un multiplo di p della forma 999…999. Se questo numero N ha k cifre, anche (10^k+1)N, (10^2k+10^k+1)N, (10^3k+10^2k+10^k+1)N, … sono della stessa forma.
A questo punto, se p è diverso da 3 possiamo scrivere quei 999…999 come 9×111…111; se p divide il prodotto deve anche dividere uno dei due fattori, ed essendo primo con 9 deve dividere il secondo fattore. Resta dunque il caso 3; ma 37·3 = 111, 37037·3 = 111111 e così via.

4. Distanze distinte
Il quadrato ha due assi di simmetria, rispetto alle diagonali; ci sono pertanto solo tre posizioni essenzialmente distinte per B, mostrate nel disegno qui sotto dove i punti con la croce sono vietati perché hanno la stessa distanza da A e D, e quelli in grigio sono vietati perché hanno la stessa distanza con uno tra A e D e B. Rimangono quattro posizioni per il punto C nel primo schema, tre nel secondo e due nel terzo; ma in realtà queste ultime due posizioni sono simmetriche e quindi bisogna eliminarne una. In totale restano pertanto 8 posizioni essenzialmente distinte.

5. Tentare la sorte
Notate innanzitutto che C e D sono indistinguibili e quindi possono essere collassati in un unico punto CD, sommando le loro probabilità relative. Inoltre si può vincere o perdere solo dopo un numero pari di mosse.
Dopo una mossa, si è certamente in A.
Dopo due mosse, si ha una probabilità 1/3 di perdere e 2/3 di essere in CD.
Dopo tre mosse, si ha probabilità 1/3 di essere in A e 1/3 di essere in B (il terzo che manca è perché si è già perso 🙂 )
Dopo quattro mosse, si ha probabilità 1/9 di perdere, 1/9 di vincere e 4/9 = 2²/3² di essere in CD.
A questo punto la probabilità di non avere ancora né vinto né perso è i 2/3 di quella del passo precedente, e ci si trova nello stesso punto. Dopo sei mosse, si ha pertanto probabilità (1/9)(2/3) di perdere, (1/9)(2/3) di vincere e 2³/3³ di essere in CD; dopo otto mosse le probabilità sono rispettivamente (1/9)(2/3)², (1/9)(2/3)² e 2⁴/3⁴; e così via.
Se il gioco non finisce in due sole mosse, la probabilità di vincere e di perdere è la stessa; visto che questo capita in due casi su tre, la probabilità di vincere è 1/3. Quanto alla durata attesa, essa vale (1/3)Σ_n≥1(2ⁿ⁻¹/3ⁿ⁻¹)(2n)) = Σ_n≥0(nⁿ/3ⁿ)(2n)); questa è una serie aritmo-geometrica la cui somma è 6.