Problemini per Pasqua 2018

Come sempre, nell’uovo ci sono cinque problemi, questa volta un po’ di annata come vedrete da alcuni numeri usati nei testi.

1. L’invasione dei cloni
Al congresso “L’invasione dei cloni” si sono riunite 201 persone di cinque nazionalità diverse. Si sa che in un qualunque gruppo di sei congressisti almeno due hanno lo stesso numero di anni. Dimostrate che ci sono almeno cinque persone della stessa nazione, età e sesso.


(immagine di anonymous, da OpenClipArt)

2. Spazio 1999
Costruite il triangolo aritmetico mostrato qui sotto

nel quale ogni numero è la somma dei due sopra di esso. Evidentemente ogni riga ha un numero in meno di quella precedente. La duemillesima riga avrà un solo numero; dimostrare che è un multiplo di 1999.

3. Uno vale uno
Dimostrare che dato un qualunque numero primo p diverso da 2 e 5 esistono infiniti multipli di p la cui rappresentazione decimale è 111…111 (composta da sole cifre 1)

4. Distanze distinte
Il disegno qui sotto è fatto di sedici punti disposti a forma di quadrato; le distanze orizzontali e verticali tra due punti adiacenti sono tutte uguali a 1. Due di questi punti su una diagonale del quadrato, A e D, sono selezionati. In quanti modi possono essere scelti altri due punti B e C in modo che tutte e sei le distanze definite dai quattro punti siano diverse? Due posizioni uguali per rotazione o riflessione sono da considerarsi identiche.

5. Tentare la sorte
Alla fiera del paese è apparsa una strana macchina, schematizzata nella figura qui sotto. Inserendo una moneta, appare una pallina al punto S che viene sparata schiacciando un bottone. Ogni volta che il bottone viene schiacciato la pallina si sposta in un altro dei punti adiacenti; la probabilità di scegliere un punto o l’altro è la stessa. Se la pallina ritorna a S il giocatore ha perso; se arriva a V ha vinto. Qual è la probabilità di vincere e quanto dura in media una partita?