L’anti-Goldbach [Pillole]

La congettura di Goldbach afferma che ogni numero pari maggiore di 2 è esprimibile come somma di due numeri primi. A parte il caso eccezionale di 4=2+2, si usano sempre due numeri dispari. Visto che nessuno sa dare una risposta, si può pensare a qualcosa di diverso: per esempio, è vero che ogni numero pari maggiore di 2 è esprimibile come somma di due numeri dispari composti? (con i numeri pari la cosa è ovvia)

Ci sono alcuni numeri per cui questo non è possibile: per esempio 20 e 38. Ma è possibile dimostrare che per i numeri maggiori di 40 il teorema è vero. Come farlo? Semplice. Guardate le uguaglianze seguenti:

10k = 15 + 5(2k-3)
10k + 2 = 27 + 5(2k-5)
10k + 4 = 9 + 5(2k-1)
10k + 6 = 21 + 5(2k-3)
10k + 8 = 33 + 5(2k-5)

Ora, per k≥4 tutti i fattori (2k–n) valgono almeno 3, e pertanto tutti i secondi membri sono somma di due numeri composti. Visto come cambia tutto nel passare dai numeri primi a quelli composti?