Problemini per Natale 2015

Le tradizioni vanno rispettate, vero? Ecco i soliti cinque problemini, le cui soluzioni posterò il 31 dicembre. Se state attenti, trovate anche gli aiutini!

1. Fibonacci
I numeri di Fibonacci li conoscete tutti: si parte da F₁=F₂=1 (e se volete, F₀=0) e da lì ogni numero è la somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5 8, 13, 21…
Dimostrate che esiste un numero di Fibonacci che termina con 2016 zeri consecutivi.

2. Dopo la virgola
Sia dato il numero A=(2+√2)²⁰¹⁶. Scriviamolo in base 10: qual è la sua quarantaduesima cifra decimale?

3. L’età dell’insegnante
Con la Buona Scuola è arrivato un nuovo insegnante nella classe dei miei gemelli. Jacopo gli ha subito chiesto “Quanti anni hai?” e lui ha risposto: “Guarda, nel 2016 compirò un numero di anni pari alla somma delle cifre dell’anno in cui sono nato”. In che anno è nato l’insegnante?

4. Numeri carbossilici
Definiamo un numero carbossilico se è esprimibile come somma di numeri tutti diversi, maggiori di 9 e formati da un’unica cifra. Per esempio, 2008 = 1111 + 666 + 99 + 88 + 44. Bene: 2016 è o non è un numero carbossilico?

5. Prodotti notevoli
Risolvete l’equazione
(x²⁰¹⁶+1)(1+x²+x⁴+x⁶+…+x²⁰¹⁴) = 2016x²⁰¹⁵.