Numeri narcisisti

Ho già scritto più volte come tutti i numeri (interi positivi) siano interessanti, anche perché se ce ne fossero di non interessanti ce ne sarebbe uno che è il più piccolo di tutti e quindi sarebbe interessante ipso facto. I numeri di cui vi parlo oggi, i numeri narcisisti, non fanno però parte di questa categoria, anche se in un certo senso sono autoreferenziali.

Narciso secondo la leggenda si innamorò della propria figura riflessa in uno specchio d’acqua e così affogò, per poi venire trasformato in fiore. Bene: i numeri narcisisti sono quelli tali per cui se si eleva ciascuna cifra all’esponente pari al numero di cifre del numero stesso e si sommano i risultati di queste operazioni, si ottiene il numero stesso. Sono insomma simili ai numeri di Munchhäusen, che però usano come esponente la cifra stessa. Occhei, forse è meglio fare un esempio pratico. I numeri di una sola cifra sono per definizione narcisisti: elevando la cifra alla prima potenza, si ottiene il numero stesso. Non esistono numeri narcisisti di due cifre: con tre cifre dobbiamo trovare dei numeri uguali alla somma dei cubi delle loro cifre, e ne abbiamo quattro.

153=1^3+5^3+3^3
370=3^3+7^3+0^3
371=3^3+7^3+1^3
407=4^3+0^3+7^3

Questo risultato appare nell’Apologia di un matematico di G. H. Hardy, che soggiunge «Curiosità come queste sono ottime per rubriche di problemi e in genere divertono i dilettanti, ma non hanno nulla di interesse per il matematico.» Ma tanto qui di matematici non ce ne sono, quindi possiamo andare avanti, anche perché è facile mostrare come ci possa essere solo una quantità finita di numeri narcisisti. In effetti ogni cifra può dare al più un contributo alla somma totale di 9^k, dove k è il numero di cifre del numero; risolvendo la disequazione k(9^k) < 10^(k−1) scopriamo che i numeri narcisisti in base 10 sono tutti minori di 10^60. Un po’ di conti mostra che ce ne sono solo 88, e il più grande è

115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401

Come sempre, l’OEIS dà un po’ di riferimenti per i curiosi…