Risposte ai problemini per Pasqua 2015

Lo so che stavate aspettando con ansia le risposte!

1. Non troppa area

Dividete il quadrato in quattro parti uguali. Per il principio dei cassetti, almeno una di queste parti conterrà tre punti. Ma visto che nessuno di questi punti può trovarsi nel perimetro del quadrato originario, l’area del triangolo formato da essi dev’essere per forza meno della metà di quella del quadratino, quindi 1/8.

2. Radici, solo radici

Iniziamo a mostrare che il valore x dell’espressione è finito, e per la precisione minore o uguale a 6. Ovviamente √6 < 6; √(6+√6) < √(6+6) < 6; e così via per induzione. (Notate che andando all’infinito il < potrebbe diventare un ≤; ma questo non ci interessa).
Poiché x è finito, possiamo elevare al quadrato i due membri, ottenendo x² = 6 + x. Quest’equazione ha come soluzioni −2, evidentemente spuria e da scartare, e 3.

3. Prodotti notevoli

Espandendo il prodotto, eliminando i cubi e dividendo per mn otteniamo l’espressione mn+1=3m+3n, che si può scrivere anche come (m−3)(n−3)=8. Poiché 8 può essere fattorizzato solo come 1×8, 2×4, −1×−8, −2×−4, le risposte possibili oltre a (0,0) sono (1,−1), (2,−5), (4,11), (5,7) oltre alle loro simmetriche.

4. Cancellazioni

Come sapete, la regola dice “più per più fa più, più per meno fa meno, meno per più fa meno, meno per meno fa più”. Considerate ora i vari prodotti x_ix_i+1. Perché la loro somma faccia zero, metà di essi devono valere 1, metà −1. Pertanto in esattamente metà degli addendi ci sarà un cambio di segno. Ma il numero complessivo di cambi di segno deve essere pari, perché abbiamo un ciclo; ma se metà degli addendi sono un numero pari, gli addendi tutti saranno un multiplo di 4.

4. Zigzag

I triangoli AA₁B, A₁A₂B₁, A₂A₃B₂, … sono tutti simili e ognuno è la metà del precedente. La somma richiesta sarà pertanto il doppio del segmento A₁B, e in definitiva varrà 4√5.