Risposte ai problemi per Pasqua 2014

Ed ecco le risposte ai problemi della settimana scorsa!

1. Gauss Reloaded
Ricordate la formula della differenza di due quadrati, (a² − b²) = (a+b²)(a−b)? Se l’applichiamo, otteniamo
(100+99)(100−99) + (98+97)(98−97) + (96+95)(96−95) + … + (2+1)(2−1)
Tutte le differenze nelle parentesi valgono 1, quindi rimane semplicemente la somma dei numeri da 100 a 1 che, come il piccolo Gauss sapeva già, vale 5050.

(Credo che sia la prima volta in cui sapere la formula della differenza di due quadrati abbia avuto una qualche utilità)

2. Un po’ d’ordine
Pensate all’insieme {1,2,3,4,5,6,7,8,9}: a un suo qualunque sottoinsieme non nullo corrisponde uno e un solo numero secondo le ipotesi. Pertanto la risposta è 2^{9−1 = 511.}

(Lavorare contemporaneamente con tutti i numeri possibili e usare i teoremi combinatori aiuta parecchio)

3. Due successioni
La prima successione è π(n), cioè quanti sono i numeri primi inferiori o uguali al numero dato: quindi π(1)=0, π(2)=1, π(3)=f(4)=2, eccetera. Il primo termine che manca è π(19)=8. La seconda successione è data dal più piccolo numero che ha esattamente n divisori positivi. Il primo termine che manca è f(13); essendo 13 primo, il risultato è 2¹²=2048.

(Per scoprire le successioni, probabilmente, il modo più semplice è nel primo caso vedere per che indici la successione cambia valore, e nel secondo caso quali sono gli indici corrispondenti alle potenze di due)

4. Run for my life
Per risolvere il problema senza fare troppi conti, immaginate di sdoppiarmi, e farmi andare in entrambe le direzioni. Il me stesso che va verso il treno raggiunge la fine del ponte insieme alla testa del treno, e mentre all’altro me stesso manca ancora 1/7 di ponte; pertanto il treno percorrerà tutto il ponte mentre io ne faccio un settimo, e dunque viaggia a sette volte la mia velocità, vale a dire 140 Km/h. (Scusate, ho ancora il fiatone, anzi un doppio fiatone)

(calcolare il rapporto tra le velocità ci semplifica la vita, perché non è più necessario fare un complicato sistema di equazioni).

5. Un’equazione diofantina
Le scelte possibili per z sono 26, cioè quelle da 0 a 25. Il valore medio di 4z tra tutti questi casi è 50, e per ogni valore superiore ce n’è uno inferiore simmetrico rispetto a 50. Ma se in media x + 2y = 50, abbiamo 26 valori diversi per y (sempre quelli da 0 a 25), che determinano in maniera univoca x. Quindi il numero totale di solluzioni è 26×26 = 676.

(Questo è lo stesso ragionamento che si potrebbe fare per la somma dei numeri da 0 a 100, dove la media è 50 e quindi la somma è 50×101=5050. Ma forse il piccolo Gauss questo non l’avrebbe trovato).