Problemi per Pasqua 2014

È Pasqua (bassa), ed è ora dei problemini! Quest’anno ho scelto di prenderli dal libro di Martin Erickson Aha! Solutions. Buon divertimento, e ricordate che tra una settimana posterò le soluzioni…

1. Gauss Reloaded
Probabilmente conoscete la storia (probabilmente apocrifa) del piccolo Gauss nella cui classe il maestro, per starsene un po’ in pace, ha fatto calcolare agli scolari la somma dei numeri da 1 a 100, vedendosi arrivare subito il sapientino con la risposta esatta 5050. Ma non credo sappiate che la storia ha un seguito! La settimana dopo il maestro diede infatti come compito di calcolare questa somma:
100² − 99² + 98² − 97² + 96² − 95² + … + 2² − 1²
(si sottraggono e sommano alternativamente i quadrati). Peccato che anche stavolta il piccolo Carl Friedrich arrivò con la risposta esatta. Qual è la risposta?

2. Un po’ d’ordine
Quanti sono i numeri positivi le cui cifre sono ordinate per valore crescente? (Insomma: 1 va bene, 259 pure, ma 42 no)

3. Due successioni
Qual è il termine successivo “più logico” di queste successioni, e perché? (Le potete vedere come funzioni il cui primo termine è f(1), tanto per essere più specifici)
0,1,2,2,3,3,4,4,4,4,5,5,6,6,6,6,7,7, …
1,2,4,6,16,12,64,24,36,48,1024,60, …

4. Run for my life
Stavo camminando su un ponte ferroviario a binario unico e ne avevo percorso i 4/7, quando mi sono accorto che un treno stava
sfrecciando verso di me. Io posso correre a 20 km/h per la lunghezza del ponte, e arriverei a uno qualunque dei due estremi del ponte esattamente insieme alla testa del treno. A che velocità sta viaggiando il treno?

5. Un’equazione diofantina
Quante sono le soluzioni dell’equazione
x + 2y + 4z = 100
con x, y, z interi non negativi? (quindi zero è valido)