Risposte ai problemi di ferragosto 2013

Ecco qua le risposte ai problemi della settimana scorsa.

1. Interi

La somma (n/3)+(n²/2)+(n³/6) può essere scritta come (2n + 3n² + n³)/6. Fattorizzando il numeratore otteniamo n(n+1)(n+2)/6. Visto che in ogni terna di numeri interi consecutivi c’è un numero pari e un multiplo di 3, il loro prodotto deve essere un multiplo di 6, e quindi la somma è un intero.

2. Partizioni

Dividete gli interi da 1 a 2n nelle coppie (1,2), (3,4), …, (2n−1,2n). Se nel nostro sottoinsieme abbiamo n+1 elementi, per il principio dei cassetti ci sarà una delle coppie che avrà entrambi gli elementi selezionati; questi due elementi sono primi tra loro.

3. Partizioni 2

Scriviamo i numeri da 1 a 2n nel formato d·2^k, dove d è un numero dispari, e costruiamo gli insiemi che hanno lo stesso d; per esempio, con i numeri da 1 a 30 avremo (1,2,4,8,16), (3,6,12,24), (5,10,20), (7,14,28), (9,18), (11,22), (13,26), (15,30), (17), (19), (21), (23), (25), (27), (29). Visto che ciascuno di questi insiemi è associato a un numero dispari inferiore a 2n, sappiamo che ce ne sono n: quindi ci sarà almeno uno di questi sottoinsiemi che conterrà due numeri del nostro insieme di base. Ma visto che presi due numeri distinti in uno qualunque degli insiemi uno è multiplo dell’altro, siamo a posto.

4. Divisori a pezzi
Il numero più grande con quei vincoli è 3608528850368400786036725, con ben 25 cifre. Per la cronaca, esistono 20456 numeri di questo tipo, e il più piccolo è ovviamente 1.

5. Lego

Innanzitutto è chiaro che i due pezzi verticali devono essere sulle stesse due righe, perché altrimenti la prima e la terza riga resterebbero con un numero dispari di quadratini e non possono essere riempiti da rettangoli di lunghezza 2. Questo significa che il problema si riconduce a calcolare come si possono mettere i due rettangoli verticali e riempire una scatola 52×2, e poi raddoppiare il risultato trovato (i due pezzi possono essere sulle righe 1 e 2, oppure su 2 e 3).
Il rettangolo di sinistra può essere messo sulla colonna 1, 3, 5, … 51, cioè in 26 modi diversi. Quello di destra potrà stare rispettivamente in 26, 25, 24, … 1 posizione, quindi il numero totale di configurazioni possibili sarà 351×2 = 702.