Problemi per Pasqua 2013

Ecco qua l’oramai usuale lista di cinque problemi che capita su questo blog tre volte l’anno. Le risposte come al solito tra una settimana.

1. Mattoni
Di un parallelepipedo sappiamo le seguenti cose:
– la somma delle lunghezze di tutti i suoi spigoli è uguale a 300
– la somma delle superfici delle sue sei facce è uguale a 1774
– ciascuno spigolo ha una lunghezza che corrisponde a un numero primo
(1 non è un numero primo, 2 sì)
Qual è il volume del parallelepipedo?
(da Aldo Spinelli)

2. Ventiquattro
Siete capaci a ottenere il numero 24 usando tre copie di una cifra a vostra scelta? Potete usare tutti i simboli matematici usuali che volete. Esiste una risposta per tutte le cifre diverse da zero, anche se in effetti la soluzione per 1 e 7 non è banalissima.
(da Henry Dudeney, 536 Curious Problems & Puzzles)

3. Salti
Paolina la pulce ha una buffa abitudine: a ogni capodanno le piace saltare sulla retta dei numeri reali, partendo da zero, muovendosi o a destra o a sinistra di un numero di unità sempre crescente: 1, 2, 3, 4,… L’anno scorso, il 2012, era riuscita a tornare al punto di partenza; quest’anno, il 2013, non ce l’ha fatta. Qual è il prossimo anno in cui potrà farcela? E più in generale, in quali anni è possibile una successione di salti di questo tipo che alla fine faccia ritornare al punto 0?

4. Dodici per dodici
Avete dodici fiammiferi, ciascuno lungo due centimetri (sì, sono i fiammiferi di Hello Kitty. Da quando in qua i problemi matematici devono usare unità di misura sensate?) e dovete costruire un poligono di area 12 centimetri quadrati. Il poligono non deve necessariamente essere convesso, va bene anche se è concavo: però deve essere un poligono vero e proprio, quindi la soluzione qui sotto, anche se ha area 12, non è valida.

12 centimetri quadri, ma soluzione non valida

5. Successioni
L’anno 2013 fa parte di una successione di date: …, 2004, 2013, 2022, 2031, 2040, …
Qual è secondo voi l’anno che seguirà nella successione, sapendo che in quello prima del 2004 non si usava ancora il calendario gregoriano?