Il paradosso del compleanno

La fisica del diavolo è un libro di Jim Al-Khalili, docente di fisica teorica all’Università del Surrey, pubblicato in Italia da Bollati Boringhieri, nel quale con una serie di paradossi logico-scientifici l’autore racconta molte cose sulla fisica e sulla scienza. Tra i paradossi – assieme ai più familiari Achille e tartaruga – c’è quello cosiddetto dei compleanni.

Questo è uno dei paradossi veridici più noti. Al contrario dei due esempi precedenti, qui non c’è trucco, non c’è falla nel ragionamento o gioco di prestigio nel modo di raccontare. Potete credere alla soluzione oppure no, ma vi assicuro che è perfettamente corretta e coerente, sia dal punto di vista matematico sia da quello logico. In un certo senso, questa frustrazione rende il paradosso ancora più divertente.

Eccolo qui:

Quante persone ci devono essere in una stanza perché la probabilità che due di loro festeggino il compleanno lo stesso giorno sia maggiore del 50%, ovvero sia più probabile che due di loro condividano lo stesso compleanno piuttosto che tutti siano nati in un giorno diverso dell’anno?

Prima di tutto, applichiamo un po’ di ingenuo buon senso (che naturalmente ci condurrà fuori strada). Dato che ci sono 365 giorni in un anno, immaginiamo di avere un’aula magna con 365 posti a sedere. Cento studenti entrano nell’aula e ciascuno si siede in un posto a caso. Alcuni amici si siederanno vicini, altri preferiranno nascondersi nell’ultima fila per schiacciare un pisolino senza essere notati, mentre i più studiosi si siederanno nelle prime file. Ma in ogni modo, resta il fatto che più dei due terzi dei posti rimarranno vuoti. Ovviamente nessuno studente si siederà in un posto già occupato, ma in ogni caso abbiamo la netta sensazione che non sia tanto probabile che due studenti vogliano esattamente lo stesso posto, visto quanto spazio c’è.

Se ora applichiamo questo ragionamento di buon senso al problema del compleanno, potremmo pensare che la probabilità che due dei cento studenti compiano gli anni lo stesso giorno sia ugualmente piccola, giacché ci sono altrettanti compleanni da scegliere quanti sono i posti a sedere. Magari ci saranno due studenti nati lo stesso giorno, ma intuitivamente pensiamo che la probabilità sia meno del 50%, pensiamo che questo sia meno probabile, rispetto al fatto che tutti siano nati in giorni diversi.

Naturalmente, con 366 persone, non c’è bisogno di spiegare perché siamo sicuri che almeno due siano nate nello stesso giorno. Ma quando il numero di persone si riduce, le cose si fanno interessanti.

In realtà, per quanto sembri incredibile, con sole 57 persone la probabilità che due siano nate lo stesso giorno arriva al 99%. Cioè, con solo 57 persone, siamo quasi certi che due siano nate lo stesso giorno! Questo è già abbastanza difficile da credere. Ma la risposta all’indovinello iniziale: «il numero di persone necessarie perché la probabilità che due festeggino il compleanno lo stesso giorno sia maggiore del 50%» è un numero molto minore di 57. Di fatto ne bastano ventitré!

Molti trovano questa risposta sorprendente a prima vista, e continuano a non crederci fino in fondo anche quando sono rassicurati della sua esattezza, perché intuitivamente è molto difficile da credere. Quindi analizziamo con attenzione la matematica, che cercherò di spiegare il più chiaramente possibile.

Prima di tutto, semplifichiamo il problema dimenticandoci degli anni bisestili, supponiamo che tutti i giorni dell’anno abbiano la stessa probabilità di essere il compleanno di qualcuno e che non ci siano gemelli nella stanza.

L’errore commesso da molti è di pensare che bisogna confrontare due numeri: il numero di persone nella stanza e il numero di giorni dell’anno. Quindi, siccome le 23 persone hanno 365 giorni da scegliere per il loro compleanno, sembra molto più probabile che i loro compleanni si eviteranno, piuttosto che il contrario. Ma questo modo di guardare il problema è fuorviante. Per capire se due persone hanno lo stesso compleanno, dobbiamo considerare le persone a coppie, non una alla volta, e dobbiamo considerare il numero di possibili coppie presenti. Cominciamo con il caso più semplice; con solo tre persone abbiamo tre possibili coppie: AB, AC e BC. Con quattro persone abbiamo sei coppie: AB, AC, AD, BC, BD e CD. Con 23 persone risultano esserci 253 diverse coppie. Vedete bene come sia più facile pensare che una di queste 253 coppie di persone sia nata lo stesso giorno dell’anno, su 365 possibili.

Il modo per fare i calcoli correttamente è cominciare con una coppia, continuare ad aggiungere gente e vedere come cambia la probabilità. Questo si fa non già calcolando la probabilità di condividere un compleanno, ma piuttosto calcolando la probabilità che ogni nuova persona abbia un compleanno diverso da tutte quelle già presenti. Quindi, la probabilità che la seconda persona eviti il compleanno della prima è 364/365, perché tutti i giorni tranne uno sono buoni. La probabilità che la terza persona eviti il compleanno delle altre due, quindi, è 363/365, ma non dobbiamo dimenticarci del fatto che i primi due sono nati in giorni diversi. Nella teoria della probabilità, quando dobbiamo calcolare la probabilità che due eventi diversi accadano contemporaneamente, dobbiamo moltiplicare la probabilità del primo evento con la probabilità del secondo evento. Quindi, la probabilità che la seconda persona eviti il compleanno della prima, e che la terza persona eviti il compleanno delle prime due, è 364/365×363/365=0,9918, cioè il 99,18% circa. Se questa è la probabilità che le tre persone siano nate in tre giorni diversi, allora la probabilità che due di loro abbiano lo stesso compleanno è circa 1–0,9918=0,0082, cioè lo 0,82%. Quindi la probabilità che su tre persone due di loro abbiano lo stesso compleanno è molto bassa, come si poteva immaginare.

Ora si continua questo processo, aggiungendo una persona alla volta e moltiplicando le frazioni fra loro per calcolare la probabilità che ogni nuova persona eviti il compleanno di tutte le altre, finché questa probabilità diventa minore del 50%. Questo è, ovviamente il punto in cui la probabilità che almeno due persone nel gruppo abbiano lo stesso compleanno diventa maggiore della probabilità che tutte abbiano un compleanno diverso. Risulta che abbiamo bisogno di 23 frazioni, cioè di 23 persone:

³⁶⁴⁄₃₆₅  x  ³⁶³⁄₃₆₅  x  ³⁶²⁄₃₆₅  x  ³⁶¹⁄₃₆₅  x  ³⁶⁰⁄₃₆₅… = 0,4927

(23 frazioni moltiplicate tra loro)

E quindi la probabilità che due persone su 23 abbiano lo stesso compleanno è circa:

1 – 0,4927 = 0,5073 = 50,73%

(C) 2012 Bollati Boringhieri editore, Torino Traduzione di Laura Servidei

(foto ROLAND WEIHRAUCH/AFP/GettyImages)