Numeri indicibili

Georg Cantor ha sviluppato la teoria dell’infinito attuale, ma non è che neppure lui avesse le idee chiare, almeno all’inizio. Leggendo la sua corrispondenza, soprattutto con l’amico Richard Dedekind, si possono vedere quante congetture errate ha man mano proposto: d’altra parte, va solo a suo favore il fatto che abbia avuto il coraggio di cambiare più volte idea senza fossilizzarsi su un’ipotesi che gli pareva naturale… ammesso che quando si parla di infinito ci possa essere qualcosa di naturale. Il più noto tra i suoi dubbi fu il capire se l’infinito che serve a contare i numeri reali fosse quello immediatamente superiore a quello corrispondente ai numeri interi, oppure ci fossero altri infiniti lì in mezzo; la cosiddetta ipotesi del continuo. Cantor era convinto che l’infinito dei numeri reali fosse appunto aleph-1, ma non riuscì mai a dimostrarlo… per l’ottima ragione che dopo quasi un secolo Kurt Gödel e Paul Cohen hanno dimostrato che non c’è alcun modo di decidere se quel teorema è vero o falso. Come capita per le geometrie non euclidee, in entrambi i casi si può costruire un modello per cui l’ipotesi del continuo sia vera oppure falsa.

Ma anche solo fermandoci all'”infinito di partenza”, quello cioè che conta i numeri interi, sorgono i primi problemi. Già Galileo si era accorto che i quadrati perfetti, che pure sembrano essere così pochi, sono in corrispondenza uno-a-uno con gli interi, e quindi sono in un certo senso la stessa cosa, o se preferite sono equivalenti. Cantor prese questo apparente paradosso per definire cos’è un numero infinito – pardon: transfinito – ma rimase molto stupito quando si accorse che i numeri razionali erano tanti quanti gli interi, riuscendo a contarli tutti con un metodo a zigzag. Quando si accorse della cosa, sulle prime congetturò persino che tutti gli infiniti fossero equivalenti, prima di trovare un controesempio che man mano semplificò fino a giungere alla famosa dimostrazione per assurdo che sfrutta il metodo diagonale e mostra come sia impossibile contare i numeri reali. Non è così strano: i numeri razionali sono davvero tanti, e tra due qualunque di essi, per quanto siano vicini, se ne trova una letterale infinità. Infatti non abbiamo affatto bisogno dei numeri irrazionali per misurare qualcosa con tutta la precisione che vogliamo, e possiamo ben capire ancora oggi lo sconcerto dei pitagorici nello scoprire che esistevano numeri che non potevano essere messi in rapporto (“ratio”, che si legge “razio”) con gli altri.

In 2500 anni di progressi se ne sono fatti tanti: per esempio si è sviluppata l’algebra e si è capito che la radice quadrata di 2, anche se non è un numero razionale, è comunque soluzione di un’equazione a coefficienti razionali, x²−2 = 0. Questi numeri, che con scarsa fantasia si chiamano algebrici, formano un insieme ancora più ampio dei razionali, e si dovette arrivare alla fine del 1700 per scoprire che π ed e non erano algebrici e quindi c’erano ancora degli altri tipi di numero. Non è difficile dimostrare che l’infinito che conta i numeri algebrici è sempre quello degli interi; si può di nuovo sfruttare il metodo di zigzag adoperato per le frazioni. I numeri trascendenti (il nome dato ai numeri reali che non sono algebrici) sembrano dunque davvero elusivi. E questo è proprio vero: non possiamo nemmeno dare un nome alla stragrande maggioranza di loro. I nostri amici π ed e sono insomma delle eccezioni? Ebbene sì.

La dimostrazione di questo apparente paradosso è semplice. Cosa significa dare un nome a un numero? Vuol dire poterlo chiamare, cioè associargli una frase, che a sua volta è un insieme finito di lettere in una certa lingua. Abbiamo così “uno”, “three”, “trecentocinquantacinque centotredicesimi”, “pi greco”, “cinque meno due”, “la soluzione minore in valore assoluto dell’equazione ics cubo meno quarantadue ics più radice quadrata di due uguale a zero”, “il più piccolo numero intero positivo che non può essere definito in meno di diciassette parole”, “qiwuchjwjsb”, e così via. Non è detto che tutte queste frasi corrispondano effettivamente a numeri diversi, e non è neppure detto che corrispondano a numeri, come ben sa chi si ricorda del paradosso di Berry. Resta il fatto che quelle frasi contengono un numero finito, anche se grande a piacere, di caratteri di un certo alfabeto (lettere o spazio, ma se volete anche numeri e simboli matematici), caratteri che sono anch’essi in numero finito. Come ci insegna Cantor, i nomi utilizzabili sono un infinito numerabile: per contarli basta prendere e ordinare tutte le possibili “frasi” con un solo carattere, poi tutte quelle con due, quelle con tre e così via. La quasi totalità dei numeri reali non potrà pertanto avere mai un nome. E no, non vale indicare un punto a caso nella retta dei numeri e dire “questo numero si chiama Pippo”. Per specficare esattamente un punto non basta puntargli sopra una matita ma bisogna definirlo per mezzo di un algoritmo, e l’algoritmo è anch’esso una frase…

La situazione è insomma davvero imbarazzante. Sappiamo che i numeri reali esistono, e anzi se scegliamo un numero a caso (ammesso che degli esseri finiti – quali noi siamo – possano fare una scelta casuale) siamo quasi certi che quel numero sarà trascendente, cioè reale ma non algebrico; eppure non sappiamo dare loro un nome. Ma c’è di peggio! Possiamo definire numeri, come quelli relativi agli ordini di grandezza, che non fanno neppure parte dell’insieme dei numeri reali reali. Se una funzione cresce come O(n log n), cresce sicuramente più di una che si limita a essere O(n), nel senso che il rapporto tra i valori delle due funzioni tende a infinito. Ma quella funzione cresce meno di una il cui ordine di grandezza è O(n^1+ε), per quanto piccolo – ma maggiore di zero – sia ε. Abbiamo insomma troppi numeri e troppo pochi nomi: siamo proprio sicuri che limitarsi ai numeri razionali non sia in fin dei conti una buona idea, checché ci abbia fatto vedere Ippaso?