Risposte ai problemini di Natale 2013
Non avete risolto i problemini di Natale? Nema problema: ecco qui le risposte.
1. Somme di tre quadrati
La proprietà si dimostra per induzione, ma in maniera un po’ peculiare. Infatti, se sappiamo che esistono tre numeri x, y, z tali che 9·2m = x2 + y2 + z2, allora 9·2m+2 = 4(x2 + y2 + y2) = (2x)2 + (2y)2 + (2z)2. Con i due passi iniziali m=0 e m=1 abbiamo la nostra tesi.
Post Scriptum: Stefano Bonaccorsi dà una dimostrazione più carina. Scriviamo il numero in base 2: sarà 1001 seguito da un certo numero di zeri. I casi possibili sono dunque, dividendo le cifre del numero in coppie: 10|01|00|…|00 oppure 1|00|10|00|…|00. In ciascun caso possiamo scrivere il numero come la somma di 1|00|…|00 (un quadrato perfetto) e 10|00|…|00 (la somma di due quadrati perfetti uguali).
Il bello di questa dimostrazione è che la si applica pari pari al dimostrare per esempio che i numeri della forma 129m2 sono esprimibili come somma di tre quadrati.
2. Lettura del pensiero
Una possibile domanda di Barbara che non coinvolga matematica troppo avanzata è “Anch’io sto pensando un numero, che è 0 oppure 1. La somma dei nostri numeri è maggiore di 2?” Se Andrea ha pensato 1, la risposta è “no”. Se ha pensato 3, la risposta è “sì. Se ha pensato 2, la risposta è “non so”.
3. Sequenza
Il numero successivo (come del resto tutti i numeri successivi) è 27. Infatti ogni termine della sequenza è ottenuto sommando le cifre di quello precedente e triplicando il risultato.
4. Quadrati ripieni
I numeri della successione sono i quadrati di 7, 67, 667, 6667… La seguente serie puramente algebrica di uguaglianze dà la soluzione.
Per curiosità, sembra che il problema sia apparso per la prima volta nel numero di ottobre 1889 del Journal de Mathématiques Elémentaires, ed è attribuito a tal F. Briganti della “Ecole de industrielle” di Fermo.
5. Vero o falso?
Se B mente, allora C deve dire la verità, e quindi A deve mentire, il che è assurdo perché allora B dovrebbe dire la verità.
Quindi B dice il vero, e dunque C mente. Notate che il fatto che C menta non ci dice nulla di A; però visto che A dice che B mente è chiaro che anche A mente.
Pertanto A e C mentono, e B dice la verità.
