Quasi uno [Pillole]
Come dice anche Wolfram Alpha, sin(1) è un numero trascendente, che vale un po’ più di 0,8414709848078965066525. (Per completezza, l’unità di misura non sono i gradi ma i radianti: un radiante è circa 57 gradi). Visto che sin(x)=1 per x = π/2 radianti, sin(n) non potrà mai valere 1 per un valore intero di n. Ma se ci accontentiamo di arrivare quasi a uno, che possiamo dire?
Il teorema di Hurwitz – o per meglio dire uno dei teoremi di Hurwitz – ci assicura che ci possiamo avvicinare quanto vogliamo a 1; più precisamente, il teorema afferma che dato un qualunque numero irrazionale ξ esiste una successione infinita di frazioni m/n tali che la differenza in valore assoluto tra ξ e m/n è minore di 1/(√5·n2). Detto in altro modo, se noi iniziamo a indicare sul segmento [−1,1] tutti i valori di sin(n), al crescere all’infinito di n il segmento non sarà naturalmente riempito visto che non avremo abbastanza valori a disposizione, ma visto da lontano sembrerà comunque senza buchi.
Tornando al nostro esempio, sin(190)=0,9977992786806…, sin(3872)=0,999916207545327…, sin(18498340)=0,999999999409637… Basta non avere fretta, insomma! Ah: quel √5 ovviamente è colpa del numero aureo. Ci sono costanti che sono sempre tra i piedi.
